关于肇事逃逸后私下和解赔偿后能否向保险公司追偿的问题，这确实是一个涉及保险理赔和法律责任的复杂问题。以下是对这一问题的详细解答：
首先，我们需要明确的是，肇事逃逸是严重的违法行为，不仅会对受害者造成身心伤害，还会给肇事者带来严重的法律后果和经济负担。在肇事逃逸后，如果双方私下达成和解并进行赔偿，这并不影响保险公司根据保险合同和相关法律法规进行理赔和追偿的权利。
接下来，我们分别分析交强险和商业三者险在这种情况下的处理：
一、交强险
赔偿范围：交强险主要对第三人人身损害进行赔偿，不包括财产损失。在肇事逃逸案件中，若导致第三人人身损害，保险公司需在交强险责任限额范围内予以赔偿。
追偿权：交强险在垫付抢救费用后，有权向致害人（即肇事逃逸者）追偿。但对于人身损害赔偿部分，交强险通常不享有直接的追偿权。
私下和解的影响：私下和解并不影响交强险的赔偿责任。只要该机动车已投保交强险，保险公司就需依法在责任限额内承担赔偿责任。
二、商业三者险
免责条款：商业三者险的条款中通常会包含免责条款，其中“交通肇事后逃逸”往往被列为免责情形之一。
追偿权：如果保险公司已就免责条款对投保人履行了提示和明确说明义务，且肇事逃逸行为确实发生，那么保险公司可以依据合同约定不承担赔偿责任。如果保险公司错误地进行了赔偿，它有权向肇事逃逸者进行追偿。
私下和解的影响：私下和解并不改变商业三者险合同中的免责条款。如果肇事逃逸行为属于免责范围，且保险公司已履行了提示和明确说明义务，那么保险公司通常不会承担赔偿责任，也就无法向肇事逃逸者追偿。
综合建议：
肇事逃逸是严重的违法行为，应尽量避免。一旦发生交通事故，应立即停车、保护现场、抢救受伤人员并报警。
在购买保险时，应仔细阅读合同条款，特别是免责条款部分，以确保自身权益得到充分保障。
如果不幸发生肇事逃逸事故，并私下达成和解，建议及时与保险公司沟通，了解保险理赔和追偿的相关情况。
总之，肇事逃逸后私下和解赔偿后能否向保险公司追偿取决于具体的保险险种、合同条款以及事故情况。在处理此类问题时，建议咨询专业的法律或保险顾问以获取更准确的解答。