交通事故私下和解后，在一定条件下是可以追加赔偿的。以下从不同角度为您详细分析：
一、和解协议存在可撤销或无效情形
重大误解：根据《中华人民共和国民法典》的规定，如果当事人在签订和解协议时对事故造成的损失、自身伤情等存在重大误解，有权请求人民法院或仲裁机构撤销该协议，并重新要求合理赔偿。例如，受害者初时不知自己的伤害需要长期治疗和高额费用，而达成了低于实际损失的赔偿协议，后续发现实际损失远超和解金额时，可以主张重大误解，要求追加赔偿。
显失公平：若和解协议约定的赔偿数额与实际应获赔偿数额差距巨大，明显对一方不公平，受损害方同样有权请求撤销协议并要求合理赔偿。比如，受害者的伤势经鉴定构成伤残，但和解时未考虑伤残赔偿项目，导致赔偿金额远低于法定标准，此时受害者可以要求追加伤残赔偿金等相关费用。
欺诈、胁迫或乘人之危：在和解过程中，若一方通过欺诈、胁迫的手段迫使对方签订和解协议，或者利用对方处于危困状态、缺乏判断能力等情形使对方违背真实意思订立协议，受损害方有权请求撤销协议并要求合理赔偿。
二、新出现的损失或后续发现的伤害
后续治疗费用：交通事故造成的某些伤害可能不会立即显现全部后果。对于和解时未预见且确实与交通事故相关的后续治疗费用，受害者可以要求追加赔偿。例如，因事故导致的颅脑损伤，初期检查可能未发现潜在问题，但后续出现了相关症状需要进一步治疗，此时产生的治疗费用可以要求肇事者承担。
新发现的伤残情况：和解时由于伤势未稳定未进行伤残鉴定，之后经鉴定构成伤残的，受害者可以基于新发现的伤残事实要求追加伤残赔偿金、精神损害抚慰金等相关赔偿项目。
三、和解协议约定范围之外的损失
如果和解协议明确约定了赔偿范围，但之后发现还有其他未包含在协议中的合理损失（如车辆贬值损失），受害者可以就该超出约定范围的损失要求赔偿。不过，这种情况下需要证明该损失与交通事故存在直接因果关系，且该损失在和解时确实难以预见。
四、注意事项
证据收集：无论是哪种情况需要追加赔偿，都需要有充分的证据支持。例如，对于新出现的伤情，需要提供医院的诊断证明、病历、检查报告等相关材料；对于赔偿项目遗漏的情况，要提供能够证明相关费用产生的票据和凭证。
协商解决优先：在发现问题后，受害者可以先尝试与肇事者再次协商，说明情况并提出追加赔偿的要求。通过友好协商解决问题，既节省时间和成本，也有利于双方关系的修复。
及时采取法律措施：如果协商不成，受害者应及时向法院提起诉讼或申请仲裁。根据相关法律规定，一般需要在知道或应当知道自己的权利受到侵害之日起一定期限内（如一年）行使权利，否则可能会因超过诉讼时效而丧失胜诉权。
行动建议：
希望以上分析能对您有所帮助。如果您还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。