针对您提出的“教师调动竞岗领导不签字怎么办”的问题，以下是一些建议和处理方法，希望能帮助您妥善解决这一问题：
一、了解调动流程与规定
首先，您需要明确教师调动的具体流程和规定。通常，教师调动需要经过一系列的程序，包括申请、考核、审批等。确保您已经按照规定的流程进行了申请，并满足了调动的条件。
二、与领导沟通
了解原因：尝试与领导进行面对面的沟通，了解他不签字的具体原因。可能是因为对您的调动有疑虑、担心工作交接问题，或是对您的能力有所保留等。
阐述理由：向领导详细阐述您希望调动的原因，如个人发展、家庭因素等，以及您对新岗位的期待和准备。
寻求共识：尝试与领导就调动事宜达成共识，看是否能通过调整工作交接方式、提供必要的支持等方式来消除领导的顾虑。
三、寻求上级或相关部门的帮助
如果与领导沟通无果，您可以考虑向上级主管部门或人事部门寻求帮助。
反映情况：向上级部门详细反映您的情况，包括调动的申请流程、与领导的沟通情况等。
请求协助：请求上级部门协助解决签字问题，或是指导您如何进一步处理。
四、利用法律途径维护权益
如果上述方法均无法解决问题，您可以考虑通过法律途径来维护自己的合法权益。
咨询法律意见：咨询专业律师，了解您的法律权益和可能的法律途径。
申请调解或仲裁：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》，您可以向劳动争议调解委员会申请调解，或是向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。
提起诉讼：如果对仲裁结果不满意，您还可以向人民法院提起诉讼。
五、保持冷静与理性
在整个过程中，保持冷静与理性至关重要。尽量避免与领导发生不必要的争执，而是通过合理、合法的方式来解决问题。
综上所述，面对教师调动竞岗领导不签字的情况，您可以通过与领导沟通、寻求上级或相关部门的帮助、利用法律途径维护权益等方式来解决问题。希望这些建议能对您有所帮助。