私立学校的老师请产假是合法的。

首先，无论是公立学校还是私立学校的老师，作为女职工，她们都享有国家法律规定的产假权益。这主要依据的是《女职工劳动保护特别规定》第七条，该条规定女职工生育享受98天产假，其中产前可以休假15天；难产或生育多胞胎的，还有额外的产假。对于晚婚晚育的女性职工，部分省市地区还设置了额外的晚婚晚育假期。

其次，对于私立学校的老师来说，虽然她们的工作单位性质与公立学校不同，但在产假权益上并没有区别。私立学校作为用人单位，同样需要遵守国家关于女职工劳动保护的相关法律法规，包括产假的规定。因此，私立学校的老师在符合产假条件时，可以依法向学校申请产假。

此外，如果女教师的产假正值寒暑假期间，根据国家教育委员会《关于女教师产假有关问题的复函》（教人〔1992〕8号）的规定，其寒暑假休假时间可以顺延。但这也需要根据学校的实际情况来执行，如果学校教学任务艰巨、缺少教师，可能不会顺延。因此，在申请产假时，建议私立学校的老师与学校进行沟通协商，明确产假的具体安排和顺延情况。

总的来说，私立学校的老师请产假是合法的，并且享有与公立学校老师相同的产假权益。在申请产假时，建议与学校进行沟通协商，确保自己的权益得到保障。