劳务派遣公司对被派遣公司没有直接的监督责任。具体分析如下：

一. 劳务派遣公司的责任

1. 劳务派遣单位的定义与义务：根据《中华人民共和国劳动合同法》（主席令第65号，2012年12月修订）第五十八条，劳务派遣单位是本法所称用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。这主要包括与被派遣劳动者订立劳动合同，并载明相关事项，如派遣期限、工作岗位等。

2. 劳务派遣单位的法律责任：同样根据该法及《全国人大常委会关于修改<中华人民共和国劳动合同法>的决定》（主席令第73号，2012年12月28日颁布），劳务派遣单位若违反劳务派遣规定，将受到劳动行政部门的责令改正或罚款等处罚。这表明劳务派遣单位需遵守相关法律法规，但其责任主要集中在与劳动者的关系上。

二. 被派遣公司的责任

• 被派遣公司（即用工单位）在劳务派遣关系中，主要负责提供工作岗位、管理被派遣劳动者的工作过程等。被派遣公司的行为若给被派遣劳动者造成损害，根据法律规定，劳务派遣单位与被派遣公司需承担连带赔偿责任。

三. 监督责任的归属

• 根据《劳务派遣行政许可实施办法》（人社部令第19号，2013年6月20日颁布），人力资源社会保障行政部门负责对劳务派遣行政许可工作进行监督指导，并对违反劳务派遣法律、法规或规章的行为进行查处。这表明监督责任主要由政府部门的劳动行政部门承担，而非劳务派遣公司。

我建议：劳务派遣公司应专注于履行其作为用人单位的义务，确保与被派遣劳动者的劳动合同关系合法、合规。同时，被派遣公司也应遵守相关法律法规，保障被派遣劳动者的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。