在私生子继承父亲遗产的情境中，如果正式的孩子不同意做亲子鉴定，证明亲子关系确实是一个复杂但至关重要的问题。以下是我对此问题的详细解答：

1. 其他证据的证明：

   • 首先，可以尝试收集其他类型的证据来证明亲子关系。这些证据可能包括但不限于：出生证明、户籍记录、医院分娩记录、父亲生前承认亲子关系的书面或口头证据（如信件、录音、视频等）、共同生活的证据（如照片、共同居住的证明等）以及证人证言（如亲友、邻居的证词）。
   • 这些证据虽然可能不如亲子鉴定直接和准确，但在一定条件下，它们可以形成证据链，共同证明亲子关系的存在。

2. 法律程序的运用：

   • 如果私生子无法通过上述方式获得足够的证据来证明亲子关系，可以考虑通过法律程序来寻求帮助。例如，可以向法院提起诉讼，请求法院确认亲子关系。
   • 在诉讼过程中，法院可能会根据具体情况，依职权或依申请进行亲子鉴定。如果正式的孩子仍然不同意做亲子鉴定，法院可能会根据其他证据和法律规定，作出是否确认亲子关系的判决。

3. 协商与调解：

   • 在处理此类问题时，协商与调解也是非常重要的手段。可以尝试与正式的孩子及其法定代理人进行沟通，解释亲子鉴定的重要性和必要性，以及拒绝鉴定可能带来的法律后果。
   • 通过协商和调解，有时可以达成双方都能接受的解决方案，从而避免不必要的法律纠纷。

综上所述，虽然正式的孩子不同意做亲子鉴定会给证明亲子关系带来一定的困难，但通过收集其他证据、运用法律程序以及协商与调解等方式，仍然有可能证明亲子关系的存在。如果在此过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。