结论：在这种情况下，即使私生子出生证上有父亲的名字，但如果父亲现在不承认是他儿子，从法律严谨性的角度出发，仍然建议进行亲子鉴定。

法律背景与解释：

1. 出生证明的法律效力：出生证明是证明孩子出生情况及亲子关系的一种初步证据，但它并非绝对的法律定论。特别是在涉及亲子关系争议时，出生证明上的信息可能受到多种因素的影响，如填写错误、信息不实等。因此，仅凭出生证明上的父亲名字，并不能直接作为认定亲子关系的绝对依据。

2. 亲子鉴定的法律地位：亲子鉴定是通过科学手段对亲子关系进行确认的一种方法，其结果具有高度的准确性和权威性。在法律上，亲子鉴定结果是被广泛接受和认可的证据，可以直接用于证明或否定亲子关系。

3. 法律程序的需要：如果父亲不承认亲子关系，而母亲或孩子希望确认这一关系，那么通过法律程序进行亲子鉴定是必要的。这不仅可以保护孩子的合法权益，如继承权、抚养权等，还可以避免未来可能出现的法律纠纷和争议。

法律建议：

1. 与父亲沟通：在决定进行亲子鉴定之前，可以尝试与父亲进行沟通，了解他的想法和态度。如果父亲愿意配合进行亲子鉴定，那么问题将更容易解决。

2. 寻求法律援助：如果父亲拒绝配合或沟通无果，母亲或孩子可以寻求法律援助，通过法律途径要求父亲进行亲子鉴定。在此过程中，律师将提供专业的法律建议和帮助，确保当事人的合法权益得到保护。

3. 准备相关证据：在进行亲子鉴定之前，母亲或孩子可以收集一些与亲子关系相关的证据，如照片、视频、聊天记录等。这些证据虽然不能直接证明亲子关系，但可以在法律程序中作为辅助证据使用。

可能的法律后果：

1. 如果亲子鉴定结果确认亲子关系：那么父亲将承担相应的法律责任和义务，如支付抚养费、承担教育费用等。同时，孩子也将享有相应的法律权益，如继承权等。

2. 如果亲子鉴定结果否定亲子关系：那么母亲或孩子可能需要重新考虑法律途径和策略，以维护自己的合法权益。同时，父亲也将不再承担与亲子关系相关的法律责任和义务。

总之，虽然出生证明上有父亲的名字，但在父亲不承认亲子关系的情况下，进行亲子鉴定是必要的。这不仅可以保护孩子的合法权益，还可以避免未来可能出现的法律纠纷和争议。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。