若公民被错误羁押300天，其有权向相应的赔偿义务机关申请国家赔偿。以下是详细的分析：

赔偿依据

根据《中华人民共和国国家赔偿法》，当公民在司法过程中遭遇错误羁押，如违反刑事诉讼法的拘留、错误逮捕与羁押，且后续决定撤销案件、不起诉或判决宣告无罪终止追究刑事责任的，国家应承担赔偿责任。这是法律赋予公民的合法权益。

赔偿义务机关

1. 违反刑事诉讼法的拘留：若侦查、检察、审判等机关或其工作人员违反刑事诉讼法的规定对公民采取了拘留措施，或拘留时间超过了刑事诉讼法规定的时限，并后续决定撤销案件、不起诉或判决宣告无罪，则这些机关即为赔偿义务机关。
2. 错误逮捕与羁押：对公民采取逮捕措施后，若决定撤销案件、不起诉或判决宣告无罪，作出逮捕决定的机关即为赔偿义务机关。
3. 再审改判无罪：作出原生效判决的人民法院为赔偿义务机关；二审改判无罪或二审发回重审后作无罪处理的，作出一审有罪判决的人民法院为赔偿义务机关。

赔偿计算

国家赔偿以支付赔偿金为主要方式。对于侵犯公民人身自由的赔偿，每日赔偿金按照国家上年度职工日平均工资计算。以您提到的错误羁押300天为例，若国家上年度职工日平均工资为X元（具体数值需参照国家统计局公布的最新数据），则该公民应获得的人身自由损害赔偿金为X元×300天。

赔偿申请流程

1. 确定赔偿义务机关：根据错误羁押的具体情况，确定相应的赔偿义务机关。
2. 提出赔偿申请：向赔偿义务机关提出书面赔偿申请，说明赔偿请求和所依据的事实和理由。
3. 赔偿义务机关处理：赔偿义务机关收到申请后，应依法进行审查，并作出是否赔偿的决定。
4. 复议或诉讼：若对赔偿决定不服，公民可以依法向上一级机关申请复议，或向人民法院提起赔偿诉讼。

综上所述，若您或您身边的人遭遇错误羁押，应及时向相应的赔偿义务机关提出国家赔偿申请，以维护自身的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。