隐瞒病情晋升职务，若该隐瞒行为构成欺诈或违反了公司相关规定，公司有权依据相关法律法规及内部规章制度对员工进行相应的处理，包括但不限于撤销晋升、解除劳动合同等。以下是对此问题的详细分析：

一. 隐瞒病情的法律性质

1. 若隐瞒病情构成欺诈：在晋升职务时，员工有义务如实告知与职务相关的健康状况。如果员工故意隐瞒重要病情，导致公司基于错误的信息作出了晋升决定，这可能构成欺诈。根据《民法典》的相关规定，欺诈行为可能导致民事法律行为的无效或可撤销。

2. 违反公司规定：大多数公司都有关于员工健康状况的告知义务和晋升条件的内部规定。如果员工隐瞒病情违反了这些规定，公司有权依据规章制度进行处理。

二. 公司的处理权限

1. 依据规章制度处理：公司可以根据内部规章制度，对员工隐瞒病情的行为进行调查，并根据调查结果作出相应处理。这包括但不限于撤销晋升、调岗、降薪、警告、解除劳动合同等。

2. 确保处理决定的合法性：公司在处理员工时，必须确保处理决定的合法性，不能违反相关法律法规。例如，如果员工隐瞒的病情属于个人隐私范畴，且并未直接影响工作，公司不能仅凭此就解除劳动合同，否则可能面临法律风险。

三. 员工的权益保护

1. 申诉权利：如果员工对公司处理决定不服，可以依据公司内部申诉程序进行申诉，或者向劳动监察部门投诉，甚至提起劳动仲裁或诉讼。

2. 隐私保护：员工在申诉过程中，应注意保护自己的隐私权益，避免病情信息被不当泄露。

我建议：对于公司而言，应完善内部规章制度，明确员工晋升时的健康告知义务和晋升条件；对于员工而言，应如实告知与职务相关的健康状况，避免因隐瞒而导致不必要的法律纠纷。如有进一步需要，您可以继续咨询我。