双方自愿断绝监护关系，通常指的是解除收养关系。在中国内地，解除收养关系的程序需要遵循一定的法律规定。以下是详细的步骤和要求：

一、解除收养关系的条件

1. 收养登记机关具有管辖权：确保选择正确的收养登记机关进行申请。
2. 共同申请：收养人、送养人和被收养人（如果其年满10周岁，需征得其同意）需要共同到被收养人常住户口所在地的收养登记机关提出申请。
3. 自愿解除并达成协议：收养人和送养人必须自愿解除收养关系，并已经达成书面协议。
4. 持有收养登记证：如果是通过收养登记机关登记的收养关系，需要持有收养登记机关颁发的收养登记证。如果是经公证机构公证确立的收养关系，则需要持有公证书。

二、所需材料

1. 收养登记证：原件，用于登记机关收回。
2. 居民身份证：收养人、送养人和被收养人的居民身份证原件（仅供查验）。
3. 居民户口簿：收养人、送养人和被收养人的居民户口簿。
4. 解除收养关系的书面协议：收养人和送养人达成的解除收养关系的书面协议。

三、办理流程

1. 提交申请：将上述所需材料提交至被收养人常住户口所在地的收养登记机关。
2. 审查：收养登记机关收到解除收养关系登记申请书及有关材料后，会自次日起30日内进行审查。
3. 办理解除：如果符合民法典的规定，收养登记机关会为当事人办理解除收养关系的登记，收回收养登记证，并发给解除收养关系证明。

四、注意事项

1. 材料齐全：确保提交的所有材料都是齐全、完整且真实的。
2. 时间限制：收养登记机关的审查时间通常为30日，但具体时限可能因地区而异。请提前了解并安排好时间。
3. 费用问题：一般来说，解除收养关系登记是不收费的，但具体费用可能因地区和政策而异。建议提前咨询当地收养登记机关或民政部门。

五、特殊情况处理

1. 送养人是社会福利机构：如果送养人是社会福利机构，则需要提交社会福利机构法定代表人的居民身份证复印件。
2. 养父母与成年养子女协议解除：如果是养父母与成年养子女协议解除收养关系，则无需送养人参与。

总之，双方自愿断绝监护关系（解除收养关系）需要遵循一定的法律规定和程序。建议提前了解当地的具体要求和流程，并准备好所需材料以便顺利办理。如有任何疑问或困难，可以咨询当地的收养登记机关或民政部门以获取帮助。