教师编制教龄23年，学校不可以随意不续约，但特定情况下可以不续约。具体分析如下：

1. 一般情况下不得随意解聘：

   • 根据我国相关教育法律法规，教师在编制内享有相对稳定的职业保障，学校不能仅凭教龄长短或主观意愿随意不与教师续约。
   • 教龄23年的教师，已在学校长期服务，更应受到法律的保护和尊重。

2. 特定情况下可以不续约：

   • 合同到期且双方未达成续约意愿：如果教师的聘用合同到期，且双方未能就续约条件达成一致，学校可以选择不续约。
   • 教师严重违反学校规定或法律法规：如果教师存在严重违反学校规章制度、教育教学规定或国家法律法规的行为，学校有权依据相关规定解除聘用合同，包括不续约。
   • 学校因客观原因需要调整岗位或裁减人员：在符合法律法规规定的情况下，如学校因机构改革、岗位调整或经济困难等客观原因需要裁减人员，且经过合法程序，学校可以不与教师续约。

3. 建议与咨询：

   • 如果教师面临学校不续约的情况，建议首先与学校进行沟通，了解不续约的具体原因和依据。
   • 如果认为学校的不续约行为存在违法或不当之处，可以依法向相关部门投诉或寻求法律援助。

综上所述，教师编制教龄23年，学校不可以随意不续约，但在特定情况下，如合同到期、教师严重违规或学校因客观原因需要调整等，学校可以不续约。如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。