私生子既有继承权，也有赡养老人的责任。

1. 继承权方面：

   • 私生子，法律上称为非婚生子女，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，他们与婚生子女、养子女以及有扶养关系的继子女一样，都是第一顺序的法定继承人。
   • 在遗产继承中，非婚生子女与婚生子女享有平等的继承权，任何组织或个人都不得侵害或剥夺他们的这一权利。
   • 如果遗嘱中明确指定了非婚生子女为继承人，或者虽未明确指定但按照法律规定其应继承，那么非婚生子女都有权继承相应的遗产份额。

2. 赡养老人责任方面：

   • 赡养老人是子女的法定义务，这一义务同样适用于非婚生子女。
   • 非婚生子女与生父母之间存在血缘关系，因此他们也有责任赡养年迈的生父母。
   • 如果非婚生子女未履行赡养义务，生父母有权要求其履行，并可能通过法律途径追究其责任。

综上所述，私生子在法律上既享有继承权，也承担赡养老人的责任。这两者是相辅相成的，体现了法律对家庭关系的全面保护。如果您在这方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。