针对你描述的情况，即卖牛时付了定金但未签合同，随后又将牛卖给他人的问题，我们可以从以下几个方面进行分析和解答：
结论前置
- 定金可能无法退还：由于未签订书面合同，仅支付定金并不构成具有法律约束力的买卖合同，但定金可能被视为对未来签订合同的担保，若卖方违约，买方有权要求返还定金，但也可能因未签合同而面临定金无法全额退还的风险。
- 可能承担缔约过失责任：虽然未签合同，但双方已就买卖牛的事宜进行磋商，并支付了定金，若卖方最终将牛卖给他人，可能构成缔约过失，需承担相应的赔偿责任。
详细分析
定金的处理：
- 定金通常作为合同履行的担保，但在未签订书面合同的情况下，其法律性质可能变得模糊。
- 若双方有口头约定或其他证据能证明定金的存在和目的，买方仍有权要求返还定金，但可能需通过法律途径解决。
- 若卖方能证明买方存在违约行为（如未按时签订书面合同），则可能有权拒绝返还定金。
缔约过失责任：
- 缔约过失责任是指在合同缔结过程中，一方因违背其依据的诚实信用原则所产生的义务，而致另一方的信赖利益的损失，应承担的损害赔偿责任。
- 在本例中，若卖方在双方已就买卖牛的事宜进行磋商并支付定金后，又将牛卖给他人，可能构成缔约过失。
- 买方有权要求卖方承担缔约过失责任，包括赔偿因信赖利益受损而遭受的损失。
法律建议：
- 尽快收集证据，包括定金支付凭证、双方沟通记录等，以证明买卖关系的存在和定金的支付。
- 若无法协商解决，可考虑通过法律途径维护自身权益，如起诉要求返还定金或赔偿损失。
- 在未来进行类似交易时，务必签订书面合同，明确双方权利义务，以避免类似纠纷的发生。
综上所述，虽然未签订书面合同，但支付定金并磋商买卖事宜已构成一定的法律关系。若卖方违约将牛卖给他人，买方有权要求返还定金并可能获得缔约过失责任的赔偿。建议尽快收集证据并采取法律措施维护自身权益。