当共同犯罪中的一名犯罪嫌疑人在检察机关审查起诉期间死亡时，对其他犯罪嫌疑人的处理主要遵循以下原则和步骤：

首先，对于已经死亡的犯罪嫌疑人，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，一般免于追究其刑事责任。具体来说，在审查起诉阶段，如果犯罪嫌疑人死亡，检察机关应当作出不起诉决定。这是因为犯罪嫌疑人已经死亡，无法再对其进行刑事诉讼和追究刑事责任。

其次，对于其他仍然存活的犯罪嫌疑人，检察机关将继续按照正常的审查起诉流程进行处理。这包括审查案件事实、证据材料，以及依法对犯罪嫌疑人进行讯问、听取辩护意见等。检察机关将根据审查结果，依法对其他犯罪嫌疑人作出起诉或不起诉的决定。

在处理过程中，检察机关还会充分考虑共同犯罪的性质、情节以及各犯罪嫌疑人在犯罪中的作用和地位等因素。如果其他犯罪嫌疑人的犯罪事实清楚，证据确实、充分，且依法应当追究刑事责任，那么检察机关将依法对其提起公诉。

此外，值得注意的是，虽然死亡的犯罪嫌疑人免于追究刑事责任，但并不意味着其民事责任也随之免除。如果死亡的犯罪嫌疑人在共同犯罪中造成了被害人的经济损失，其合法继承人应当在继承遗产的范围内承担民事赔偿责任。

综上所述，当共同犯罪中的一名犯罪嫌疑人在检察机关审查起诉期间死亡时，检察机关将依法对死亡的犯罪嫌疑人作出不起诉决定，并继续对其他犯罪嫌疑人进行审查起诉。同时，也会充分考虑共同犯罪的性质和情节，以及各犯罪嫌疑人在犯罪中的作用和地位等因素，依法作出公正的处理决定。