不下判决检查监督的申请书应当写明申请人基本信息、申请事项、事实与理由等内容。具体可以参考以下格式和结构：

一. 标题与申请人基本信息

• 标题通常写为“检查监督申请书”。
• 申请人基本信息包括申请人的姓名、性别、年龄、民族、职业、工作单位、住所、联系方式等。

二. 申请事项

• 明确写明申请的事项，即请求法院对某案件进行不下判决的检查监督。例如：“请求贵院对XX案件进行不下判决的检查监督，并依法作出处理。”

三. 事实与理由

1. 案件基本情况：简要介绍案件的基本情况，包括案号、当事人、案件类型、审理经过等。

   • 例如，说明案件已经过一审或二审，但法院长时间未下判决，导致案件悬而未决。

2. 申请理由：详细阐述申请检查监督的理由，指出法院未下判决可能存在的问题或不当之处。

   • 例如，可以提出法院审理程序不当、超审限未结案、存在司法不公等问题，并附上相关证据或线索。

3. 法律依据：引用相关法律法规，为申请提供法律依据。例如：

   • 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，法院应当在规定的审限内结案，超审限未结案属于违法行为。
   • 根据《中华人民共和国人民法院组织法》的相关规定，人民法院应当接受人民群众的监督，对审判工作中的问题应当及时纠正。

四. 结尾与附件

• 结尾部分可以表达申请人的期望和请求，如“恳请贵院依法对本案进行不下判决的检查监督，并尽快作出处理，以维护申请人的合法权益。”
• 如有相关证据或材料，可以作为附件一并提交。

我建议在撰写申请书时，要注意语言表述的准确性和严谨性，同时附上充分的证据和线索以支持申请。如有进一步需要，您可以继续咨询我。