天天发信息骂人、威胁，甚至把家人全骂一遍，这样的行为有可能构成犯罪。具体分析如下：

一. 可能构成的犯罪

1. 寻衅滋事罪：根据《中华人民共和国刑法》第二百九十三条，追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣的，属于寻衅滋事行为，破坏社会秩序的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。若该行为情节恶劣，且严重破坏了社会秩序，则可能构成寻衅滋事罪。

2. 敲诈勒索罪：若该人通过发信息辱骂、威胁的方式，企图敲诈勒索公私财物，且数额较大或者多次敲诈勒索，则根据《中华人民共和国刑法》第二百七十四条，可能构成敲诈勒索罪。

3. 治安管理处罚：即使不构成犯罪，该行为也违反了《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条的规定，即公然侮辱他人或者捏造事实诽谤他人的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。

二. 应对建议

• 保留证据：首先，建议你保存所有辱骂、威胁的信息作为证据，无论是文字、语音还是图片等形式。
• 报警处理：如果行为严重，影响到了你的正常生活和工作，建议你及时向公安机关报警，由警方进行调查处理。
• 法律维权：在保留充分证据的基础上，你也可以考虑通过民事诉讼来维护自己的合法权益，要求对方停止侵权行为、恢复名誉、赔礼道歉，并赔偿精神损害抚慰金等。

我建议，在遭遇此类情况时，应保持冷静，不要与对方发生正面冲突，而是采取合法途径来维护自己的权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。