票据背书后是享有追索权的，但持票人要先行使付款请求权后遭到拒绝的，才能行使追索权。以下是对此问题的详细解释：

票据追索权的法律依据

• 《最高人民法院关于审理票据纠纷案件若干问题的规定》第四条：持票人不先行使付款请求权而先行使追索权遭拒绝提起诉讼的，人民法院不予受理。除有票据法第六十一条第二款和本规定第三条所列情形外，持票人只能在首先向付款人行使付款请求权而得不到付款时，才可以行使追索权。
• 《中华人民共和国票据法》第六十一条：汇票到期被拒绝付款的，持票人可以对背书人、出票人以及汇票的其他债务人行使追索权。汇票到期日前，有下列情形之一的，持票人也可以行使追索权：汇票被拒绝承兑的；承兑人或者付款人死亡、逃匿的；承兑人或者付款人被依法宣告破产的或者因违法被责令终止业务活动的。

票据追索权的行使条件

1. 持票人需先行使付款请求权：在票据到期或提示付款期限内，持票人应首先向付款人（如承兑银行）提示付款，并要求付款。
2. 付款请求权遭拒绝：如果付款人拒绝付款，持票人需取得拒绝付款的证明，如退票理由书等。
3. 确定追索对象：根据票据的背书情况和交易关系，确定追索对象，包括出票人、背书人、承兑人、保证人等。
4. 发出书面追索通知：在法定期限内，向追索对象发出书面追索通知，详细说明追索的依据、金额、期限等。

票据追索权的特殊情况

• 背书不连续或不完备：如果票据背书过程中出现断裂、缺失或未按照法定条件签章，可能导致背书无效，进而影响持票人的追索权。
• 特定法律条款：如背书人在汇票上记载“不得转让”字样，其后手再背书转让的，原背书人对后手的被背书人不承担保证责任。这意味着当票据出现问题时，后手的被背书人不能向记载“不得转让”字样的原背书人行使追索权。

综上所述，票据背书后是享有追索权的，但这一权利的行使需满足一定的条件。如果持票人在行使付款请求权后遭到拒绝，且符合追索权的行使条件，那么持票人可以向背书人、出票人以及汇票的其他债务人行使追索权。在行使追索权时，持票人应注意保留相关证据，并遵循法定程序。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。