当银行遇到借款人夫妻双方同时死亡的情况时，处理债务的方式主要依据债务的性质以及是否存在共同财产或遗产。以下是一个清晰、详细且有深度的解答：

一、债务性质判断

1. 夫妻共同债务：

   • 如果该债务是夫妻双方共同签字确认，或者一方事后追认等共同意思表示所负，抑或是在婚姻关系存续期间以个人名义为家庭日常生活需要或共同生产经营所负，那么它属于夫妻共同债务。
   • 在这种情况下，即使一方或双方去世，生存的一方（如果存在）或遗产管理人都有义务用共同财产或遗产来偿还债务。

2. 个人债务：

   • 如果该债务是一方以个人名义超出家庭日常生活需要所负，且债权人不能证明该债务用于夫妻共同生活、共同生产经营或者基于夫妻双方共同意思表示，那么它属于去世一方的个人债务。
   • 在这种情况下，去世一方的债务应以其个人遗产为限进行清偿。

二、债务处理方式

1. 存在共同财产或遗产：

   • 若有共同财产，银行有权首先用这些共同财产来偿债。
   • 若有遗产（无论是共同的还是个人的），继承人在继承范围内承担责任。如果继承人放弃继承，则无需承担债务清偿责任。
   • 如果夫妻双方都有遗产，且债务属于夫妻共同债务，那么债权人可以向遗产管理人主张用双方的遗产来清偿债务。

2. 无共同财产或遗产：

   • 如果夫妻双方都没有遗产，也没有其他义务承担人（如担保人），那么债务通常会被消灭。
   • 在这种情况下，银行将无法通过追讨遗产或共同财产来收回债务。

三、实际操作步骤

1. 核实债务性质：

   • 银行需要核实债务是否属于夫妻共同债务，这通常涉及查看贷款合同、相关证明文件以及可能需要进行法律咨询。

2. 联系遗产管理人或继承人：

   • 如果存在遗产，银行应联系遗产管理人或继承人，了解他们是否愿意在继承范围内承担债务清偿责任。

3. 法律程序：

   • 如果需要，银行可以启动法律程序来追讨债务，包括但不限于提起诉讼、申请强制执行等。

4. 风险评估与处置：

   • 银行应对整个债务处理过程进行风险评估，并根据实际情况制定相应的处置策略。

综上所述，当银行遇到借款人夫妻双方同时死亡的情况时，应首先判断债务性质，然后依据债务性质和是否存在共同财产或遗产来制定相应的处理策略。在整个过程中，银行需要遵循相关法律法规，并确保处理过程的合法性和合规性。