关于“故意杀人后的抓捕与自首认定”这一问题，我可以为你提供以下详细的解答：

结论前置

在故意杀人案件中，自首的认定对于犯罪嫌疑人的量刑具有重要影响。一般来说，犯罪以后自动投案，如实供述自己的罪行的，即可认定为自首，对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。

自首的认定

一般自首

1. 自动投案：

   • 犯罪嫌疑人在实施故意杀人行为后，主动到公安机关、人民检察院或人民法院等司法机关投案，表明自己愿意接受法律制裁。
   • 犯罪嫌疑人实施故意杀人行为后，明知他人已经报案而没有逃离现场，在现场等待公安人员到来，抓捕时无拒捕行为，并供认犯罪事实的，也应当视为自动投案。

2. 如实供述自己的罪行：

   • 犯罪嫌疑人自动投案后，必须如实供述自己的故意杀人罪行，包括杀人的时间、地点、手段、被害人情况等基本事实。
   • 如果犯罪嫌疑人避重就轻，只交代次要情节而隐瞒主要犯罪事实，或者虚构事实、编造情节，则不能认定为如实供述。

特别自首

• 被采取强制措施的犯罪嫌疑人、被告人或正在服刑的罪犯，如实供述司法机关还未掌握的本人其他故意杀人罪行的，也以自首论。

自首的法律后果

• 对于自首的犯罪分子，可以从轻或者减轻处罚。其中，犯罪较轻的，可以免除处罚。
• 需要注意的是，“可以”并不等同于“应当”，自首后并不一定会从轻或减轻处罚，具体还要结合案件的其他情节综合判断。

实例说明

假设甲因家庭矛盾将乙杀害后，内心十分悔恨，第二天便主动到当地公安局投案，并如实交代了自己的犯罪事实。这种情况就属于自动投案，并如实供述自己的罪行，因此可以认定为自首。在量刑时，法院可能会考虑甲的自首情节，对其从轻或减轻处罚。

总结与建议

在故意杀人案件中，自首的认定对于犯罪嫌疑人的量刑具有重要影响。如果你或你身边的人涉及此类案件，建议尽快咨询专业律师，了解自首的认定标准和法律后果。同时，也要积极配合司法机关的调查工作，如实供述自己的罪行，争取从轻或减轻处罚的机会。