赠品是假的，消费者有权利追究。
法律依据：
- 《中华人民共和国合同法》第一百九十一条规定，赠与的财产有瑕疵的，赠与人在附义务的限度内承担与出卖人相同的责任。若赠与人故意不告知瑕疵或者保证无瑕疵，造成受赠人损失的，应当承担损害赔偿责任。
- 《中华人民共和国消费者权益保护法》第五十四条和第五十五条也明确规定了经营者对于不合格商品或存在欺诈行为的责任，包括退货和增加赔偿等。
- 《消费者权益保护法实施条例》及《最高人民法院关于审理网络消费纠纷案件适用法律若干问题的规定(一)》均强调，即使是赠品，经营者也应保证其质量，不得以赠品为由免责。
分析说明：
- 赠品虽为无偿提供，但实则作为商品交易的一部分，与主商品共同构成了交易的整体。因此，赠品的质量问题同样受到法律的保护和约束。
- 商家在提供赠品时，应确保赠品的真实性、合格性，不得进行虚假宣传或误导消费者。若赠品为假货，商家需承担相应的法律责任，包括民事责任、行政责任乃至刑事责任。
- 消费者在购买商品时，有权知悉所购商品及接受服务的真实情况，包括赠品的品质。若因赠品问题受到损害，消费者有权要求商家赔偿。
法律建议：
- 消费者在购物时，应理性对待商家的赠品促销，仔细查看赠品的品质、标识等信息，确保赠品为合格产品。
- 若发现赠品存在质量问题或假货情况，应及时与商家沟通协商，要求更换、退货或赔偿。若商家拒绝承担责任，消费者可向相关监管部门投诉或寻求法律途径维权。
综上所述，赠品若为假货，消费者有权利追究商家的责任，并要求相应的赔偿。在购物过程中，消费者应保持警惕，维护自身的合法权益。