针对您提出的“一审中判处死刑立即执行的案件，被告人不上诉，死刑复核程序应该怎么走”的问题，以下是一个清晰、详细且有深度的解答：

一、死刑立即执行案件的复核流程概述

死刑立即执行案件的复核程序是确保死刑判决合法性、正当性和准确性的重要环节。根据法律规定，所有死刑案件必须经过高级人民法院复核，并最终由最高人民法院核准，方可执行。

二、中级人民法院判处死刑的第一审案件复核流程

1. 判决与上诉、抗诉期：

   • 中级人民法院依法对案件进行审理，并作出死刑立即执行的判决。
   • 宣判后，被告人有权在法定期限内提出上诉，人民检察院也有权提出抗诉。若被告人不上诉、人民检察院不抗诉，则进入复核程序。

2. 报请复核：

   • 中级人民法院应在上诉、抗诉期满后10日内，将案件报请高级人民法院复核。
   • 报请复核的材料包括：报请复核的报告、第一审裁判文书、死刑案件综合报告等。

3. 高级人民法院复核：

   • 高级人民法院组成合议庭对报送的死刑案件进行全面复核，审查事实、证据及适用法律是否正确。
   • 复核结果分为三种情况：
     • 同意判处死刑的，应依法作出裁定，并报请最高人民法院核准。
     • 发现原判存在瑕疵但判处死刑并无不当的，可在纠正后作出核准死刑的判决或裁定，并报请最高人民法院核准。
     • 发现原判认定事实不清、证据不足，或存在违反法律规定的诉讼程序情形，可能影响公正审判的，应裁定不予核准，并撤销原判，发回重新审判。

三、最高人民法院核准程序

• 最高人民法院对高级人民法院报送的死刑案件进行最后审查。
• 审查内容包括事实认定、法律适用、诉讼程序等方面。
• 只有经过最高人民法院核准，死刑方可执行。

四、特别注意事项

• 死刑案件复核期间，若出现新的影响定罪量刑的事实、证据，或原审违反法定诉讼程序可能影响公正审判的，最高人民法院将裁定不予核准，并撤销原判，发回重新审判。
• 报请复核死刑案件应一案一报，确保报送材料的完整性和准确性。

五、总结

综上所述，一审中判处死刑立即执行的案件，在被告人不上诉的情况下，将按照严格的复核程序进行审查。这一程序旨在确保死刑判决的合法性、正当性和准确性，维护司法公正和人权保障。