当您的合同到期且公司未提出续签时，您确实有权要求公司续签合同。以下是对这一问题的详细解答：
一、合同到期后的劳动关系状态
合同到期后，如果双方未明确终止劳动关系，且您仍在原岗位继续工作，那么双方的劳动关系并未自动终止。在这种情况下，您有权要求公司继续保持劳动关系，并与您续签合同。
二、要求续签合同的法律依据
根据《劳动合同法》的相关规定，除非用人单位在维持或提高劳动合同约定条件的情况下续订劳动合同而劳动者不同意，否则在劳动合同期满终止时，用人单位应向劳动者支付经济补偿。这意味着，如果公司没有合理的理由不续签合同，您有权要求其续签，或者在不同意续签的情况下要求公司支付相应的经济补偿。
三、要求续签合同的注意事项
保留证据：为了证明您在合同到期后仍在继续工作，建议您保留好相关的工作记录、考勤记录等证据。这些证据将有助于您在要求续签或寻求法律救济时证明自己的主张。
积极沟通：与公司进行积极的沟通是解决问题的关键。您可以明确表达自己的意愿和要求，与公司协商续签合同的条件和细节。如果公司表示不同意续签，您可以进一步了解其原因，并据理力争或寻求其他解决方案。
了解法律救济途径：如果公司拒绝续签合同且未提供合理的解释或经济补偿，您可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。您可以咨询专业的劳动法律师或向当地劳动监察部门投诉，以寻求法律帮助和支持。
综上所述，当您的合同到期且公司未提出续签时，您有权要求公司续签合同。在要求续签的过程中，请务必保留好相关证据、积极与公司沟通，并了解相关的法律救济途径以维护自己的合法权益。