结论前置：派遣工被用工单位无故辞退时，赔偿责任的确定需依据具体情况。若用工单位无故辞退派遣工，通常应由劳务派遣单位承担支付经济补偿或赔偿金的责任；若劳务派遣单位因用工单位退回劳动者而解除劳动合同，且符合法定情形，也需支付经济补偿或赔偿金。赔偿标准严格按照《劳动合同法》等相关法律规定执行。

一、赔偿责任确定

1. 用工单位无故辞退的情况：

   • 若派遣工被用工单位无故辞退，即用工单位没有合法理由或违反法律规定解除与派遣工的用工关系，此时用工单位需承担一定的责任，但直接支付经济补偿或赔偿金的义务通常由劳务派遣单位承担。劳务派遣单位在接到用工单位的退回通知后，若因此与派遣工解除劳动合同，需按照法律规定支付经济补偿或赔偿金。

2. 劳务派遣单位解除劳动合同的情况：

   • 若劳务派遣单位因用工单位退回劳动者（无论是否无故）而解除劳动合同，且该解除符合《劳动合同法》中关于经济补偿或赔偿金支付的规定（如经济性裁员、劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化等），则劳务派遣单位需支付经济补偿或赔偿金。

二、赔偿标准

• 经济补偿按派遣工在本单位工作的年限计算：
  • 每满一年支付一个月工资的经济补偿；
  • 六个月以上不满一年的，按一年计算；
  • 不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
• 若劳务派遣单位或用工单位违法解除劳动合同，则需按照经济补偿标准的二倍向派遣工支付赔偿金。

三、赔偿索取流程

1. 明确赔偿主体：首先确定是用工单位还是劳务派遣单位，或两者均需承担责任。在无故辞退的情况下，通常首先向劳务派遣单位主张赔偿。
2. 协商解决：与赔偿主体进行友好协商，提出合理的赔偿要求，尝试达成和解。
3. 申请劳动仲裁：若协商无果，派遣工可向劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，请求裁决赔偿主体承担相应责任。
4. 提起诉讼：对仲裁结果不服的，派遣工可在规定期限内向法院提起诉讼，通过司法途径维护自身合法权益。

四、法律建议

• 派遣工在遭遇无故辞退时，应保留好相关证据，如劳动合同、工作记录、辞退通知等，以便在协商、仲裁或诉讼过程中证明自己的权益。
• 若对赔偿问题存在疑问或无法自行解决，建议及时咨询专业律师，以便获得更具体的法律指导和帮助。

综上所述，派遣工在被用工单位无故辞退后，应明确赔偿主体和赔偿标准，按照法律规定的流程来维护自身权益。在索赔过程中，可依次尝试协商、劳动仲裁和诉讼等途径来确保获得应有的赔偿。若您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。