因经济困难无法自行支付法律服务费用以起诉不赡养老人的当事人，有权向法律援助机构申请法律援助。详细分析如下：
一. 法律援助的申请条件
- 经济困难：申请人需证明自身经济困难，无力支付法律服务费用。这可以通过持有低保证、特困人员供养证等官方证件，或者由相关部门审核认定经济确实困难的情况来证明。对于无固定生活来源的老年人等特定群体，依法可以免予核查经济困难状况。若老人因子女不赡养而导致生活困难，符合此条件。
- 有充分理由：申请人需证明为保障自己的合法权益需要帮助，即存在明确的赡养费索取需求。在此情况下，子女不赡养老人，老人有权要求子女给付赡养费，这就是充分的理由。
二. 申请法律援助的法律依据
- 根据《法律援助条例》第十条第一款第四项及《法律援助法》第三十一条的明确规定，公民在请求给付赡养费且因经济困难没有委托代理人的情况下，可以向法律援助机构申请法律援助。这与不赡养老人的情况完全吻合，因此老人完全有权申请法律援助。
三. 申请法律援助所需材料
- 法律援助申请表：需填写并提交法律援助申请表，表明申请意愿和基本情况。
- 经济困难证明材料：如上文所述，需提供能够证明自己经济困难的官方证件或相关部门的审核认定材料。
- 与申请事项相关的证据材料：包括但不限于存在抚养、赡养关系的证明（如户籍簿、单位证明等），以及申请人的每月经济收入及证明等。这些证据将有助于法律援助机构对申请人的情况进行全面评估。
四. 法律援助的申请流程
- 提交申请：将上述材料准备齐全后，向当地法律援助机构提出申请。
- 审查决定：法律援助机构收到申请后，会对申请人的材料进行审查。对于符合条件的申请人，法律援助机构会指派律师为其提供法律援助服务。
- 法律援助服务：指派的律师将帮助申请人通过法律途径索要赡养费，包括起草法律文书、参与诉讼等。
综上所述，因子女不赡养而导致生活困难的老人，完全有权向法律援助机构申请法律援助，以维护自己的合法权益。如有进一步需要，您可以继续咨询我。