针对您提出的问题“事业单位跟设计公司没有签订合同，设计费多年以后可以补签协议付款吗”，我首先给出明确的结论：在符合一定条件下，事业单位与设计公司可以补签协议来支付多年前的设计费。接下来，我将从法律角度详细解释这一结论。

法律背景与解释

1. 合同法的基本原则：

   • 根据《中华人民共和国合同法》（虽已废止，但相关原则在新颁布的《民法典》中继续有效），合同是双方意思表示一致的产物，对双方具有法律约束力。
   • 对于未签订书面合同的情形，如果双方实际履行了合同义务，且对方接受，则视为合同成立。

2. 补签协议的合法性：

   • 双方可以在事后补签书面协议，以确认之前的口头或实际履行行为，并明确双方的权利义务。
   • 补签协议时，应确保协议内容真实、合法，且双方意思表示一致。

3. 支付设计费的法律依据：

   • 如果设计公司确实为事业单位提供了设计服务，且事业单位接受了这些服务，那么事业单位就有义务支付相应的设计费。
   • 补签协议可以明确设计费的金额、支付方式、支付时间等具体条款，为双方提供法律保障。

具体操作建议

1. 双方协商：

   • 事业单位与设计公司应首先进行友好协商，就补签协议的具体内容达成一致。
   • 协商过程中，应明确设计费的金额、支付方式、支付时间等关键条款。

2. 签订书面协议：

   • 在协商一致的基础上，双方应签订书面协议，以确认之前的合作关系和支付义务。
   • 协议内容应详细、明确，避免产生歧义或纠纷。

3. 履行协议：

   • 签订协议后，事业单位应按照协议约定的方式和时间支付设计费。
   • 设计公司也应确保提供的设计服务符合协议要求，并履行其他相关义务。

注意事项

• 在补签协议时，双方应仔细审查协议内容，确保无误后再签字盖章。
• 如果双方对补签协议或支付设计费存在争议，可以寻求专业律师的帮助进行调解或诉讼。

综上所述，事业单位与设计公司在未签订原始合同的情况下，如果实际履行了合同义务且对方接受，那么可以补签协议来支付多年前的设计费。在补签协议时，双方应确保协议内容真实、合法，并明确各自的权利义务。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。