寄售行在寄售品到期后，未经寄售人同意，不得私自处理寄售品。以下是对此问题的详细分析：

一. 寄售关系的法律性质

寄售关系中，寄售行与寄售人之间形成的是委托代理关系。寄售行作为代销人，根据寄售人的指示处置货物，但在货物售出之前，货物的所有权仍属于寄售人。这意味着，寄售行在寄售过程中并没有获得货物的所有权，因此无权擅自处理寄售品。

二. 寄售协议的约束力

寄售协议是寄售行与寄售人之间明确双方权利与义务的重要文件。协议中通常会规定寄售品的寄售期限、寄售费用、违约责任等内容。如果寄售品到期后，寄售行未按照协议约定将货款支付给寄售人，而是擅自处理寄售品，这将构成违约行为，寄售行需要承担相应的违约责任。

三. 寄售行擅自处理寄售品的法律后果

如果寄售行在寄售品到期后，未经寄售人同意擅自处理寄售品，这将侵犯寄售人的所有权。寄售人有权要求寄售行承担赔偿责任，包括恢复原状、赔偿损失等。此外，寄售行还可能面临行政处罚或刑事责任，具体取决于其行为的性质和后果。

四. 寄售行应采取的正确做法

当寄售品到期后，如果寄售人未及时取回或未明确指示寄售行如何处理，寄售行应积极与寄售人联系，协商处理方案。如果寄售人同意延长寄售期限或同意寄售行按照一定价格自行处理寄售品，双方应签订书面协议以明确双方的权利与义务。如果寄售人不同意任何处理方案，寄售行应妥善保管寄售品直至寄售人作出明确指示。

我的观点：寄售行在寄售品到期后，应严格遵守寄售协议的约定，不得擅自处理寄售品。如果寄售品到期后未得到及时处理，寄售行应与寄售人积极沟通协商解决方案，以确保双方权益得到妥善保护。如有进一步需要，您可以继续咨询我。