婆婆无权直接将银行卡公正给其中一个儿子，因为银行卡内的存款属于婆婆与公公的共同财产，其中一半属于公公的遗产，应由所有继承人共同继承。

一. 银行卡内存款的归属

• 银行卡内的存款，如果是婆婆与公公婚姻期间所得，那么它属于夫妻共同财产。公公去世后，其中的一半将作为公公的遗产进行继承。

二. 遗产的继承

• 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条，遗产按照下列顺序继承：第一顺序为配偶、子女、父母。这意味着，公公的遗产应由婆婆、子女（包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女）以及公公的父母（如果还在世）共同继承。
• 因此，婆婆不能单方面决定将银行卡公正给其中一个儿子，因为这涉及到其他继承人的权益。

三. 公正的问题

• 公正通常用于证明某一事实或行为的真实性、合法性。但在遗产继承的问题上，公正并不能改变继承权的归属。即使婆婆将银行卡进行了公正，也不能剥夺其他继承人的继承权。

我建议：如果婆婆想要将银行卡内的部分资金赠与给其中一个儿子，她应该首先与其他继承人协商，并确保不会侵犯到其他继承人的权益。如果协商不成，可以通过法律途径来解决遗产分配的问题。如有进一步需要，您可以继续咨询我。