首先，需要明确的是，轻伤一级赔偿后并不能直接申请刑拘。刑拘（刑事拘留）是刑事诉讼程序中的一项强制措施，由公安机关依法决定并执行，通常针对涉嫌犯罪的嫌疑人。而轻伤一级的赔偿属于民事赔偿范畴，与刑事拘留没有直接的因果关系。
如果你希望追究对方的刑事责任，并希望公安机关对其实施刑事拘留，你需要按照以下步骤操作：
报案：首先，你需要向当地的公安机关报案，说明对方涉嫌犯罪的情况，并提供相关证据。公安机关会依法进行初步调查。
配合调查：在报案后，你需要积极配合公安机关的调查工作，包括提供证人证言、物证、书证等。如果公安机关认为有必要，可能会要求你进行伤情鉴定。
等待决定：公安机关在调查结束后，会根据事实和证据情况，决定是否对嫌疑人采取刑事拘留等强制措施。如果决定采取刑事拘留，公安机关会依法执行，并通知你相关情况。
需要注意的是，刑事拘留是一项严肃的强制措施，必须依法进行。因此，在申请刑事拘留时，你需要确保提供的事实和证据真实、充分，以支持公安机关的决定。
另外，即使对方被刑事拘留，你仍然可以依法追究其民事赔偿责任。刑事拘留和民事赔偿是两个独立的法律程序，互不影响。如果你需要进一步的法律帮助或咨询，请随时告诉我。