若监护人不履行监护职责，被指定为新监护人的，可以向原监护人要求支付抚养费用，若其拒绝支付，可通过诉讼途径解决。

一. 监护人的职责与抚养费用的承担

1. 监护人的法定职责：根据《民法典》第二十七条，父母是未成年子女的监护人。监护人的职责包括保护被监护人的身体健康、照顾被监护人的生活、管理和保护被监护人的财产等。若监护人不履行监护职责，他人有权向人民法院申请撤销其监护人资格，并安排必要的临时监护措施。
2. 抚养费用的承担：当监护人不履行监护职责，被指定为新监护人的，原监护人应当继续承担抚养费用。这是因为抚养费用是监护职责的一部分，不因监护人的变更而免除。

二. 抚养费用的支付与追索

1. 支付义务：原监护人应当按照约定或法律规定支付抚养费用。若双方有约定，则按照约定执行；若无约定，则应根据被监护人的实际需要、原监护人的经济能力等因素合理确定。
2. 诉讼途径：若原监护人拒绝支付抚养费用，新监护人可以向人民法院提起诉讼，要求原监护人履行支付义务。在诉讼中，新监护人需要提供证据证明原监护人未履行抚养职责以及抚养费用的具体数额等。

三. 实际操作建议

• 协商解决：在提起诉讼之前，建议双方先尝试通过协商的方式解决抚养费用问题。可以明确抚养费用的数额、支付方式、支付时间等，并签订书面协议。
• 保留证据：在协商或诉讼过程中，新监护人应保留好相关证据，如抚养费用的支出凭证、原监护人的收入证明等，以便在需要时提供。
• 法律援助：若新监护人经济困难，无法承担诉讼费用，可以向法律援助机构申请法律援助，获得免费的法律服务。

我建议，在处理此类问题时，应优先考虑被监护人的权益和福祉，确保其得到适当的照顾和抚养。同时，新监护人也应积极履行自己的监护职责，为被监护人提供一个良好的成长环境。如有进一步需要，您可以继续咨询我。