借用人员的产假审批应由借用单位办理。具体分析如下：

一. 借用人员与借用单位的关系

1. 劳动关系归属：虽然借用人员的人事关系可能仍在原单位，但在借用期间，其实际为借用单位提供劳动，受借用单位的管理和指挥。
2. 责任承担：根据“谁用工谁负责”的原则，借用单位在借用期间对借用人员负有管理责任，包括产假审批等人事管理事项。

二. 产假审批的办理

1. 审批主体：基于上述劳动关系归属和责任承担的分析，借用人员的产假审批应由借用单位负责办理。
2. 审批流程：借用单位应按照本单位的相关规定和流程，对借用人员的产假申请进行审批。这通常包括提交申请、审核材料、作出审批决定等环节。

三. 法律依据

• 虽然《劳动法》、《劳动合同法》等法律法规未直接规定借用人员的产假审批由谁办理，但根据劳动关系归属和责任承担的原则，可以推断出应由借用单位办理。
• 同时，借用单位在借用期间对借用人员的管理责任，也隐含了办理产假审批等人事管理事项的义务。

综上所述，借用人员的产假审批应由借用单位办理。这是基于借用人员与借用单位之间的实际劳动关系归属和责任承担原则所得出的结论。如有进一步需要，您可以继续咨询我。