警察有权抓捕犯罪的市长。这一权力来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，具体分析如下：

一. 警察有权抓捕涉嫌犯罪的任何人

• 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第三条，公安机关负责刑事案件的侦查、拘留、执行逮捕等职责。这意味着，警察在依法执行公务时，有权对涉嫌犯罪的任何人进行抓捕，包括市长。

二. 警察抓捕必须严格依法行使

• 警察在抓捕时，必须出示拘留证，并在拘留后立即将被拘留人送看守所羁押，同时通知被拘留人的家属（除非有特殊情况，如涉嫌危害国家安全犯罪或恐怖活动犯罪等）。
• 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十六条，警察在拘留后的二十四小时以内必须对被拘留人进行讯问，如果发现不应当拘留，必须立即释放。若需要逮捕，公安机关必须写出提请批准逮捕书，连同案卷材料、证据，一并移送同级人民检察院审查批准。

三. 公职人员刑事犯罪的处理

• 公职人员刑事犯罪由公安机关或者人民检察院进行侦查。公安机关的侦查根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十九条，刑事案件的侦查一般由公安机关进行。这意味着，如果公职人员涉嫌刑事犯罪，公安机关有权进行立案侦查，收集证据，查明犯罪事实。
• 对于公职人员利用职权实施的犯罪，如贪污、贿赂、渎职等，人民检察院可以直接立案侦查。此外，对于公安机关管辖的国家机关工作人员利用职权实施的重大犯罪案件，如果需要由人民检察院直接受理，经省级以上人民检察院决定，也可以由人民检察院立案侦查。

综上所述，警察在依法执行公务时，有权对涉嫌犯罪的市长进行抓捕。但这一权力必须严格依法行使，并遵循相应的程序要求。同时，公职人员刑事犯罪的侦查和处理还涉及人民检察院的职责和程序。

我的观点是，法律面前人人平等，无论身份地位如何，一旦涉嫌犯罪，都将受到法律的制裁。如有进一步需要，您可以继续咨询我。