针对员工私自变卖公司废品的问题，这是一项严重违反公司规定和法律法规的行为。公司应当采取一系列严谨而有效的措施来处理此类情况，以确保公司的合法权益得到维护，并防止类似事件再次发生。

首先，公司需要立即启动内部调查程序。这一步骤至关重要，它涉及组建一个由管理层、审计部门及法务人员等构成的专门调查小组。该小组的任务是全面收集证据，这些证据可能包括交易记录、监控录像、门禁记录、证人证言以及公司相关文件等。在收集证据的过程中，必须确保所有手段的合法性和有效性，同时尊重员工的基本权益。

接下来，调查小组会与涉事员工进行面谈，要求其对自己的行为进行解释，并详细记录面谈内容。在此过程中，应避免使用任何威胁或逼迫等不当手段，以确保面谈的公正性和员工的合法权益。

根据内部调查的结果，公司会依据既定的规章制度对涉事员工进行纪律处分。这些处分可能包括警告、罚款、降职降薪、甚至解除劳动合同等。在做出处分决定时，公司必须遵循规定的程序，给予员工陈述和申辩的机会，并确保处分决定的书面化。

除了内部处理外，公司还需要从法律角度对事件进行定性。如果废品属于公司财物，且员工未经许可私自变卖，这可能构成职务侵占行为。职务侵占是指利用职务上的便利，将本单位的财物非法占为己有，且数额较大。若员工的行为达到当地规定的数额标准（通常六万元以上），将涉嫌职务侵占罪。在这种情况下，公司应及时向公安机关报案，并提交详细的证据材料，以配合公安机关的侦查工作。

同时，公司有权要求涉事员工赔偿因变卖废品给公司造成的经济损失。这包括废品本身的价值、调查费用、法律费用等。如果员工拒绝赔偿，公司可以通过协商、劳动仲裁或民事诉讼等途径来追讨。

最后，为了防止类似事件的再次发生，公司需要加强管理与监管，建立完善的废品和财产管理制度。这包括明确处理流程和责任分工，加强对废品和财产的监管力度。同时，公司还应加强对员工的法治教育和职业道德培训，提高员工的法律意识和职业道德水平，确保员工能够严格遵守公司的规章制度。

综上所述，处理员工私自变卖公司废品的问题需要公司采取综合措施，既要对违法行为进行严肃处理，也要注重预防和教育，以确保公司的合法权益得到有效保护。