当劳务派遣员工在用人单位受伤时，责任主体的认定是一个核心且复杂的问题。以下是对此问题的详细解答：

一、法律关系及责任主体认定

1. 劳动关系：

   • 劳务派遣员工与劳务派遣公司之间建立的是劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣公司是法定的用人单位，对劳动者负有相应的义务。

2. 责任主体：

   • 劳务派遣公司：作为用人单位，劳务派遣公司承担主要的工伤保险责任。这包括为员工缴纳工伤保险、在员工受伤时申请工伤认定，以及支付相关的工伤待遇。如果劳务派遣公司未依法缴纳工伤保险，那么它将需要按照工伤保险待遇的项目和标准自行支付费用。
   • 用工单位：根据《中华人民共和国劳动合同法》第九十二条，如果用工单位给被派遣劳动者造成了损害，它应与劳务派遣公司承担连带赔偿责任。这通常发生在用工单位未提供安全的工作环境、未进行必要的安全培训或存在其他过错的情况下。

二、工伤认定程序与赔偿流程

1. 工伤认定：

   • 申请时间：劳务派遣公司应在事故伤害发生之日或被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向社会保险行政部门提出工伤认定申请。如果公司未按时申请，员工或其近亲属、工会组织可在1年内直接提出申请。
   • 申请材料：申请工伤认定时，需要提交工伤认定申请表、劳动关系证明材料、医疗诊断证明或职业病诊断证明书等相关材料。

2. 劳动能力鉴定：

   • 工伤职工在治疗伤情相对稳定后，可以申请劳动能力鉴定，以确定伤残等级和相应的赔偿标准。

3. 赔偿申请：

   • 携带工伤认定决定书、劳动能力鉴定书等资料，员工可以申请工伤保险待遇。如果已缴纳工伤保险，大部分赔偿将由工伤保险基金支付；如果未缴纳，则由劳务派遣公司支付。赔偿项目包括医疗费用、停工留薪期工资、伤残津贴等。

三、特殊情况下的责任认定

• 第三人侵权：如果劳务派遣员工是因第三人侵权而受伤，第三人应承担侵权赔偿责任。在第三人赔偿不足的情况下，劳务派遣公司和用工单位可能需要承担补充赔偿责任。同时，受伤员工仍可享受工伤保险待遇。

• 派遣协议约定：劳务派遣公司和用工单位可以在派遣协议中约定责任分担方式，但这种约定不能对抗受伤员工的直接求偿权。

四、纠纷解决途径

• 协商解决：首选方式，通过协商可以快速、高效地解决纠纷。
• 劳动仲裁：如果协商不成，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，提供证据支持自己的诉求。
• 诉讼解决：对仲裁裁决不服的，可以向人民法院提起诉讼，由法院根据法律和事实作出判决。

综上所述，劳务派遣员工在用人单位受伤时，责任的认定涉及多个主体和复杂的法律关系。在实际操作中，应严格依据相关法律法规和实际情况进行具体分析和判断，以确保劳动者的合法权益得到有效保障。