关于医疗机构退费问题，哪个部门负责管理主要取决于退费的具体原因和情境。以下是一些可能涉及的部门及其职责：

一、公立医疗机构预交金退费

对于公立医疗机构预交金的退费问题，根据《关于规范公立医疗机构预交金管理工作的通知》，主要由公立医疗机构自身负责加强对存量门诊预交金退费受理、审核、确认、退款等全流程的监管。若因客观原因无法及时清退，需按属地管理原则报卫生健康（中医药、疾控）行政部门备案。

二、医保相关退费

1. 因缴费工资调整、税务部门误收、险种费率调整等多缴费款需退费的：

   • 由税务部门负责实质性审核，并向人社、医保部门发送相关退费信息。
   • 人社、医保部门根据税务部门发送的相关退费信息复核各自基金实际情况后，予以退付。

2. 因重复参保缴费、无效参保、迟办离职退休停保业务等多缴社会保险费需退费的：

   • 多缴养老保险费、失业保险费、工伤保险费的，由人社部门负责实质性审核并退付。
   • 多缴医疗保险费、生育保险费的，由医保部门负责实质性审核并退付。

三、其他情况

对于其他非公立医疗机构或非医保相关的退费问题，如因医疗服务质量、价格争议等引发的退费，可能涉及卫生健康行政部门、市场监督管理部门或消费者协会等部门的协调和处理。

总结

医疗机构退费问题的管理部门因具体情况而异。对于公立医疗机构预交金退费，主要由医疗机构自身负责并受卫生健康行政部门监督；对于医保相关退费，涉及税务部门、人社部门和医保部门的分工合作；对于其他情况，可能涉及卫生健康行政部门、市场监督管理部门或消费者协会等。患者在遇到退费问题时，应根据具体情况向相应部门咨询或投诉。