管理事业编人员离职问题的部门主要是政府人事部门及其所属的人才流动服务机构。具体来说：

1. 辞职申请的审核与审批：

   • 事业编人员辞职时，首先需要向所在单位提交辞职申请，并由所在单位根据相关规定进行审核或审批。

2. 人事档案的转交与管理：

   • 辞职人员所在单位需将其《辞职申请表》及人事档案转交至同级政府人事部门所属的人才流动服务机构。
   • 人才流动服务机构在接收辞职人员的档案后，会与辞职人员签订相关协议，并发给辞职人员《辞职证明书》。

3. 辞职后的相关事宜：

   • 辞职人员辞职后的一年内，若到全民所有制单位、集体所有制单位或“三资”企业工作，可保留其全民所有制干部身份。这一身份的审定工作由政府人事部门所属的人才流动服务机构负责。
   • 辞职人员到新的工作单位时，需要由接收单位向保存其人事档案的人才流动服务机构出具《辞职人员接收函》，以便办理相关的人事档案转移和工作介绍等手续。

此外，若在处理流动争议时当地尚未成立人才流动争议仲裁机构，则可由辞职申请人所在单位上级主管部门协调解决；若主管部门协调不了，可由当地政府人事部门所属的人才流动服务机构进行调解或仲裁。

综上所述，政府人事部门及其所属的人才流动服务机构在事业编人员的离职过程中扮演着关键角色，负责辞职申请的审核、人事档案的转交与管理以及辞职后的相关事宜处理等工作。