员工在上班期间打游戏是否可以被开除，这个问题需要根据具体情况来分析。

首先，员工与公司建立了劳动关系后，有义务遵守公司的规章制度，按约定付出劳动，并完成工作任务。如果员工在上班期间打游戏，这通常被视为失职行为。然而，是否可以因此开除员工，取决于这种失职行为的严重程度以及是否给公司造成了重大损失，或者是否严重违反了公司的规章制度。

根据《劳动合同法》的相关规定，如果员工严重违反用人单位的规章制度，或者严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害，那么公司可以依法开除员工。这里的关键是“严重”二字，即员工的过错行为必须达到严重的程度，公司才能以此为由解除劳动合同。

具体来说，如果公司的规章制度中明确规定了上班期间打游戏属于严重违规行为，并且员工已经充分了解并确认了这项规定，同时公司也有充足的证据来证明员工确实在上班期间打游戏，那么在这种情况下，公司可以依据《劳动合同法》的相关规定开除员工。

然而，如果员工上班打游戏的行为并不符合公司规章制度中所规定的严重违规情形，也没有给公司造成重大经济损失，那么公司通常无法以此为由解雇员工。否则，将被视为违法解除劳动合同，公司需要向员工支付相应的赔偿金。

因此，对于员工上班打游戏的行为，公司应该根据具体情况来判断是否可以开除员工。如果确实需要开除员工，公司必须确保有充分的证据和合法的理由来支持其决定。同时，公司也应该加强员工管理和教育培训，引导员工遵守公司的规章制度和工作纪律。