同意赔偿决定后，一般情况下是不需要再申请执行监督的，因为赔偿决定本身已经具有法律效力，应当履行。但如果赔偿义务机关未履行赔偿决定，赔偿请求人则有权申请强制执行或监督执行。以下是对此问题的详细分析：

1. 赔偿决定的法律效力：

   • 赔偿决定，无论是行政赔偿还是刑事赔偿，一旦作出并生效，即具有法律约束力，必须履行。
   • 如果赔偿请求人同意赔偿决定，那么双方应当按决定来履行，此时不涉及申请执行监督的问题。

2. 赔偿义务机关未履行赔偿决定的情况：

   • 行政赔偿：若赔偿义务机关（如行政机关）未在规定期限内履行赔偿决定，赔偿请求人可以向第一审人民法院申请强制执行。
   • 刑事赔偿：虽然《国家赔偿法》等未明确规定刑事赔偿决定的强制执行程序，但实践中，赔偿请求人可以通过向赔偿义务机关的上级机关或相关监督部门反映情况，要求监督其履行赔偿决定。这实际上也具有一定的“强制”性质。

3. 申请执行监督的特殊情况：

   • 当赔偿义务机关为人民法院，且拒绝履行刑事赔偿决定时，赔偿请求人可以向其上一级人民法院赔偿委员会申请强制执行或监督执行。

4. 建议与注意事项：

   • 在申请强制执行或监督执行前，建议赔偿请求人先与赔偿义务机关进行协商沟通，尝试通过和解方式解决争议。
   • 赔偿请求人应保留好相关证据和材料，以便在申请强制执行或监督执行时提供有力支持。
   • 如果对强制执行或监督执行程序不熟悉，可以直接向我咨询，我将提供专业的法律帮助。

综上所述，同意赔偿决定后，一般情况下不需要申请执行监督，但如果赔偿义务机关未履行赔偿决定，赔偿请求人有权根据具体情况申请强制执行或监督执行。在任何情况下，都应保留好相关证据，并考虑先与赔偿义务机关进行协商沟通。如有需要，请直接向我咨询。