针对您提出的问题“房东在租赁期间把房子卖了但租户还不到期限又不肯搬走”，以下是我的详细解答：
核心结论：
买卖不破租赁原则：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，租赁物在承租人占有的期限内发生所有权变动，不影响租赁合同的效力。这意味着，即使房东将房屋出售，原租赁合同对新房屋所有权人仍然有效，租户有权继续居住至租赁期限届满。
协商与法律途径：房东与租户应首先尝试通过友好协商解决问题。若协商无果，房东可以向人民法院提起诉讼，要求租户在合理期限内腾房。
详细分析：
法律依据：
- 《中华人民共和国民法典》第七百二十五条明确规定：“租赁物在承租人按照租赁合同占有期限内发生所有权变动的，不影响租赁合同的效力。”这是处理此类问题的核心法律依据。
协商解决：
- 房东与租户应首先进行协商，房东可以提出额外的优惠条件，如给予一定的经济补偿、帮助租户寻找新住所等，以争取租户的理解和配合。
- 租户也可以提出自己的需求，双方应共同寻找一个合理的解决方案。
法律途径：
- 若协商无果，房东可以向人民法院提起诉讼，要求租户腾退房屋。
- 在诉讼过程中，房东需提供租赁合同、房屋出售合同、赔偿支付凭证等相关证据以证明自己的主张。
- 法院会根据事实和法律作出判决，若租户仍不履行判决，房东可以申请强制执行。
注意事项：
- 房东在出售房屋时，应提前告知租户房屋出售的情况，并告知新产权人信息和租赁情况，以便租户做好相应的准备。
- 租户在租赁期间应按时支付租金，并遵守租赁合同的各项约定，以避免因自身违约而引发纠纷。
- 双方在处理此类问题时应保持冷静和理性，避免冲动行为，以免对双方造成不必要的损失和伤害。
综上所述，房东在租赁期间将房屋出售并不影响租赁合同的效力，租户有权继续居住至租赁期限届满。若双方无法协商达成一致，房东可以通过法律途径解决纠纷。希望我的解答能对您有所帮助。