用刀故意伤人后逃跑，行为人将面临严重的法律责任，具体罪名和刑罚取决于伤害的严重程度、行为人的主观故意以及其他相关情节。逃跑并不能改变犯罪事实，也不能作为减轻或免除刑事责任的理由，反而可能影响量刑，被法院酌情从重判罚。以下是详细分析：
故意伤害罪：
- 法律依据：《中华人民共和国刑法》第二百三十四条规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。
- 实例说明：如果行为人主观上具有伤害他人身体健康的故意，客观上实施了用刀伤人的行为，并造成轻伤以上的伤害程度，即构成故意伤害罪。比如，甲与乙发生口角后，甲持刀将乙砍成轻伤并逃跑，甲的行为就构成故意伤害罪。
故意杀人罪：
- 法律依据：《中华人民共和国刑法》第二百三十二条规定，故意杀人的，处死刑、无期徒刑或者十年以上有期徒刑；情节较轻的，处三年以上十年以下有期徒刑。
- 实例说明：若行为人主观上具有非法剥夺他人生命的故意，客观上实施了用刀伤人的行为，即使被害人未死亡，也可能构成故意杀人罪（未遂）。例如，丙因琐事对丁怀恨在心，持刀朝丁的要害部位猛刺，后因他人阻拦未能得逞而逃跑，丙的行为就可能被认定为故意杀人罪（未遂）。
逃跑的法律后果：
- 逃跑是量刑时考虑的一个情节，法院可能因行为人逃避追究而对其从重处罚。同时，逃跑还可能构成单独的罪行，如脱逃罪等。
- 受害者及其家属可以提起刑事附带民事诉讼，要求行为人赔偿医疗费、误工费、护理费、交通费、营养费、住院伙食补助费等为治疗和康复支出的合理费用。若造成残疾，还需赔偿辅助器具费和残疾赔偿金；致人死亡的，应赔偿丧葬费和死亡赔偿金。
建议：
- 面对类似情况，行为人应立即停止犯罪行为，主动投案自首，并积极配合司法机关的调查和处理工作。这样不仅可以减轻自己的刑事责任，也有助于维护社会的安全和稳定。
综上所述，用刀伤人后逃跑是严重的违法行为，行为人将依据伤害的严重程度、主观故意以及其他相关情节面临相应的法律责任。逃跑不能逃避法律的制裁，反而可能加重刑事责任。因此，建议行为人及时止损，主动接受法律处理。如果您或您身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会提供专业的法律帮助。