《公安机关办理行政案件程序规定》第二百五十九条的核心要点及解读如下：

核心结论：

该条款规定了行政案件终止调查的四种情形以及行政处罚决定书的送达与告知义务。

详细解读：

1. 行政案件终止调查的情形：

   • 没有违法事实：经过全面、细致的调查后，确认不存在任何违法行为。
   • 违法行为已过追究时效：违法行为发生的时间已经超过了法律规定的追究时效，因此不再对违法行为进行追究。
   • 违法嫌疑人死亡：在调查过程中，若违法嫌疑人去世，则案件自然终止。
   • 其他需要终止调查的情形：这是兜底条款，涵盖了除上述三种情形外的其他特殊情况，如案件移送其他机关管辖、重复立案等。

在上述任一情形下，经公安派出所、县级公安机关办案部门或出入境边防检查机关以上负责人批准，应终止调查。同时，若违法嫌疑人已被采取行政强制措施，应立即解除。

1. 行政处罚决定书的送达与告知义务：

   • 公安机关在向违法行为人送达行政处罚决定书时，必须明确告知其有权申请行政复议或提起行政诉讼，以保障其合法权益。
   • 若违法行为人被决定给予行政拘留处罚，公安机关应及时通知其家属，确保家属知晓并能采取相应措施。
   • 对于有被侵害人的案件，公安机关还需将决定书副本抄送被侵害人，以便其了解处理结果。
   • 决定书应“及时”送达，若无法当场宣告，则应在二日内送达，并注明送达日期。决定书内容需载明执行期限、地点及加处罚款的标准和缴款方式等关键信息。
   • 若违法行为人拒绝签收决定书，人民警察需在附卷的决定书上注明相关情况，视为已送达。若被处理人不在场，可由其成年家属代为签收，并在附卷的决定书上注明，同样视为送达。

典型案例：

• 案例1：甲被举报在公园内赌博，但警方经过调查后发现甲仅围观并未参与赌博，属于“没有违法事实”，因此经批准终止调查。
• 案例2：乙因嫖娼被查获，但行为发生在1年前，已超过6个月的追究时效，因此案件被终止。
• 案例3：丙涉嫌非法入境，但在调查期间因病去世，案件因此终止并解除拘留审查措施。

注意事项：

• 终止调查与撤销案件有所区别。终止调查适用于行政案件，而撤销案件多用于刑事案件。行政案件终止后，若发现新证据可重新立案；刑事案件撤销后通常不可重启。
• 当事人对终止调查决定不服的，可以通过行政复议或行政诉讼来寻求救济。

综上所述，《公安机关办理行政案件程序规定》第二百五十九条为行政案件的终止调查提供了明确的法律依据，并详细规定了行政处罚决定书的送达与告知义务，确保了执法的公正性、透明性和合法性。