儿子因贩毒羟考酮被判刑宣判后，母亲作为非案件当事人，通常不可以直接上诉。下面我将从几个角度详细解释这一问题：

1. 上诉主体的限定：

   • 在刑事诉讼中，上诉的主体通常是案件的当事人，即被告人、自诉人以及他们的法定代理人。母亲作为被告人的近亲属，并不属于可以直接上诉的主体范围。

2. 母亲的权利与途径：

   • 虽然母亲不能直接上诉，但她可以通过其他途径表达对判决的不满或关切。例如，她可以鼓励或支持被告人（儿子）自己提出上诉，或者在被告人同意的情况下，帮助其寻找律师并准备上诉材料。
   • 如果母亲认为判决存在明显的法律错误或程序问题，她也可以向相关部门或机构反映情况，但这并不意味着她可以直接启动上诉程序。

3. 上诉的条件与程序：

   • 上诉需要满足一定的条件，如必须在法定的上诉期限内提出上诉，必须提出具体的上诉理由和请求等。
   • 上诉程序也需要遵循一定的法律流程，包括提交上诉状、参与庭审等。这些程序通常由被告人或其法定代理人来完成。

4. 特殊情况下的代理：

   • 在某些特殊情况下，如被告人因故不能自行上诉，且没有法定代理人时，近亲属可能会被指定为代理人来参与上诉程序。但这需要依法进行，并且需要满足特定的条件。

综上所述，儿子因贩毒羟考酮被判刑宣判后，母亲作为非案件当事人，通常不可以直接上诉。但她可以通过其他途径表达对判决的关切，并支持或帮助被告人进行上诉。如果有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。