结论前置：在诉讼时效期内，如果欠款人偿还了部分欠款，那么剩余欠款的诉讼时效会中断并重新起算，但这一重新计算的时效仍受二十年最长诉讼时效期限的限制。
详细分析：
诉讼时效中断的情形：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一百九十五条，诉讼时效中断的情形包括权利人向义务人提出履行请求、义务人同意履行义务等。欠款人偿还部分欠款，即被视为其同意履行义务的一种表现，这会导致诉讼时效的中断。
诉讼时效的重新计算：
- 当诉讼时效中断后，已经经过的诉讼时效期间归于无效，诉讼时效期间从中断时起重新计算。例如，如果原借款合同的诉讼时效是从借款到期日的次日起计算三年，那么在诉讼时效期间内，如果欠款人偿还了部分欠款，诉讼时效就会从还款之日起重新计算三年。
最长诉讼时效期限的限制：
- 尽管诉讼时效可以因中断而重新计算，但它仍然受到二十年最长诉讼时效期限的限制。这意味着，自权利受到损害之日起超过二十年的，即使诉讼时效期间曾经中断过，债权人也不能再向法院提起诉讼来追讨剩余欠款。
特殊情形处理：
- 如果原债务约定了履行期限，剩余债务的诉讼时效自原履行期限届满之日起计算，但需考虑前述诉讼时效中断规则的影响。
- 如果原债务未约定履行期限，债权人可随时要求履行，但需给予合理准备时间。若债务人于催告期内偿还部分款项，剩余债务诉讼时效自首次催告之日起计算；若未明确催告而直接还款，则从还款次日开始计算。
总结：
因此，在诉讼时效期内部分还款后，剩余欠款的诉讼时效会中断并重新起算。但债权人应充分考虑诉讼时效的相关规定，及时行使权利，以确保自身权益得到有效保护。同时，债务人也应了解这些规定，避免因误解而导致不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。