关于公司解除劳动关系的补偿问题，这确实是一个涉及劳动者切身利益的重要话题。下面，我将根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关法律法规，为您详细梳理不同情形下的补偿方式和标准。

一、公司无需支付赔偿的情形

首先，如果劳动者存在以下过错，公司有权解除劳动合同且无需承担经济补偿：

1. 试用期间不符合录用条件；
2. 严重违反公司规章制度；
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
4. 与其他公司建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响或拒不改正；
5. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效；
6. 被依法追究刑事责任。

在这些情况下，公司解除劳动合同是合法的，无需支付任何经济补偿。

二、公司需支付经济补偿的情形及标准

接下来，我们看看哪些情况下公司需要支付经济补偿，以及补偿的标准是什么。

适用情形：

1. 双方协商一致解除劳动合同；
2. 劳动者因病或非因工负伤，医疗期满后无法从事原工作或另行安排的工作；
3. 劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任；
4. 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且未达成变更协议；
5. 公司因破产重整、生产经营困难、转产等技术革新或经营方式调整需裁减人员；
6. 劳动合同期满，除用人单位维持或提高条件续订而劳动者不同意的情况外；
7. 用人单位被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或提前解散。

计算标准：

经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，则按三倍数额支付，且支付年限最高不超过十二年。这里的“月工资”指的是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包括计时/计件工资、奖金、津贴等。

公式：经济补偿金 = 工作年限 × 月平均工资

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

如果公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，比如无故解雇或在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除的期间解除劳动关系，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

示例：若合法经济补偿为5万元，则违法赔偿为10万元。

四、额外注意事项

1. 代通知金：如果公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。但这一规定仅适用于特定法定解除情形，如医疗期满、不胜任工作等。
2. 证据留存：无论是公司还是劳动者，都应保存解除合同的相关证据，如协商记录、不胜任工作的考核材料等，以备不时之需。
3. 程序合规：公司应确保解除流程符合法律要求，如提前通知工会、出具书面解除通知书等。
4. 争议处理：若发生纠纷，双方可通过劳动仲裁或诉讼解决。建议在此过程中咨询专业律师，以维护自身合法权益。

五、实际案例解析

案例1：员工A在公司工作3年8个月，月工资6000元，因公司经济性裁员被解除合同。

补偿计算：3年对应3个月 + 8个月按1年算0.5个月 → 共3.5个月 × 6000元 = 21,000元。

案例2：员工B月工资2万元，在某地区工作15年，公司违法解除合同。

补偿计算：合法补偿 = 12个月 × (当地职工月平均工资三倍，假设为1.5万元，但员工月工资2万元超过此标准，故按1.5万元×3÷12的逻辑调整计算基数，实际应直接以当地三倍月平均工资为上限计算，此处为简化说明) → 实际合法补偿可能受封顶限制，但为说明违法赔偿计算，假设合法补偿为6万元（实际需根据具体三倍月平均工资计算）→ 违法赔偿 = 6万 × 2 = 12万元。

综上所述，公司在解除劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。这既有助于维护劳动者的合法权益，也能确保公司的合法运营和稳定发展。希望这些信息能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。