关于劳动法下用人单位开除员工的规定及赔偿问题，这主要取决于解除劳动合同的原因和情形。以下是我为您详细梳理的解答：

1. 用人单位合法解除且无需支付赔偿的情形

   • 根据《劳动合同法》第三十九条，若劳动者存在以下情形，用人单位可单方解除劳动合同且无需支付经济补偿或赔偿金：
     1. 试用期不符合录用条件（需明确约定并证明）；
     2. 严重违反规章制度（制度需合法且已公示）；
     3. 严重失职/营私舞弊造成重大损害；
     4. 与其他单位建立劳动关系影响本职工作；
     5. 欺诈胁迫手段订立劳动合同；
     6. 被依法追究刑事责任。

2. 用人单位合法解除但需支付经济补偿金的情形

   • 根据《劳动合同法》第四十六条，以下情况用人单位需支付经济补偿金（N）：

     1. 协商一致解除；
     2. 劳动者不胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任；
     3. 经济性裁员；
     4. 用人单位破产重整或经营困难；
     5. 合同期满不续签（用人单位原因）。

   • 经济补偿金计算方式： $\( \text{补偿金} = \text{工作年限} \times \text{月工资} \)$ 其中，工作年限每满一年算一个月工资；六个月以上不满一年按一年计；不足六个月支付半个月工资。月工资指离职前十二个月的平均工资（含奖金、津贴等货币性收入），上限为当地职工月平均工资三倍。

   • 示例：若员工工作3年8个月，月平均工资1万元，则经济补偿金为： $\( 4 \, (\text{工作年限}) \times 10,000 \, (\text{月工资}) = 40,000 \, \text{元} \)$

3. 用人单位违法解除劳动合同的赔偿责任

   • 若用人单位无合法理由单方面解除合同，属于违法解除，需按以下标准赔偿： $\( \text{赔偿金} = \text{工作年限} \times \text{月工资} \times 2 \)$ 计算规则与经济补偿金相同，但需乘以2。

   • 示例：沿用上例，若员工被非法辞退，则应获赔偿金： $\( 4 \, (\text{工作年限}) \times 10,000 \, (\text{月工资}) \times 2 = 80,000 \, \text{元} \)$

4. 特殊注意事项

   • 代通知金：若用人单位未提前30日书面通知解除合同，需额外支付一个月工资作为代通知金（仅限特定情形如《劳动合同法》第四十条）。
   • 维权途径：劳动者可通过劳动仲裁主张权益，时效为离职后一年内。

总结与建议：

• 用人单位开除员工是否需要支付赔偿，以及赔偿的具体数额，取决于解除劳动合同的原因和情形。
• 劳动者在遇到解雇时，应首先确认解除是否合法，并保留好相关证据（如劳动合同、工资记录、解除通知等）。
• 若对解除的合法性或赔偿数额有疑问，可直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律分析和建议。

希望以上解答能对您有所帮助。如有其他疑问，请随时向我提问。