当仲裁不予执行裁定后，一方希望继续仲裁，而另一方希望向人民法院提起诉讼时，处理方式主要依据《民事诉讼法》的相关规定。以下是详细的解答：

核心结论：仲裁裁决被人民法院裁定不予执行后，当事人可以根据双方达成的书面仲裁协议重新申请仲裁，也可以选择向人民法院起诉。

1. 重新申请仲裁：

   • 当事人之间可以重新达成仲裁协议，并依据该协议重新申请仲裁。
   • 需要注意的是，重新申请仲裁必须是基于双方自愿，并且符合法定的相关条件。

2. 向人民法院起诉：

   • 当事人也可以选择向有管辖权的人民法院提起诉讼。
   • 起诉时，应当明确管辖法院和诉讼请求，并准备充分的证据来支持自己的主张。
   • 法院会对起诉的相关事宜进行审查，如果符合条件，就会受理并进行审理。

法律依据：

• 根据《民事诉讼法》第二百三十七条第五款的规定：“仲裁裁决被人民法院裁定不予执行的，当事人可以根据双方达成的书面仲裁协议重新申请仲裁，也可以向人民法院起诉。”

进一步说明：

• 在选择重新申请仲裁或向人民法院起诉时，当事人应当充分考虑各自的实际情况和法律后果。
• 如果选择重新申请仲裁，需要确保双方能够重新达成仲裁协议，并且仲裁机构愿意接受重新仲裁的申请。
• 如果选择向人民法院起诉，则需要明确管辖法院和诉讼请求，并准备充分的证据来支持自己的主张。同时，也需要了解诉讼程序的相关规定和流程。

综上所述，当仲裁不予执行裁定后，一方希望继续仲裁而另一方希望提起诉讼时，当事人可以根据《民事诉讼法》的相关规定选择重新申请仲裁或向人民法院起诉。在具体操作中，当事人应当充分考虑各自的实际情况和法律后果，并选择合适的解决方式。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。