结论：犯罪嫌疑人在被逮捕后37天，仍然有权申请取保候审，但能否获得批准需由司法机关根据具体案件情况审查决定。
法律依据与分析：
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条的规定，以下情形下的犯罪嫌疑人、被告人可以申请取保候审：
- 可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的：此类刑罚相对较轻，采取取保候审措施通常不会引发社会危险性。
- 可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的：这要求司法机关评估后认为，即使不羁押，犯罪嫌疑人也不会对公共安全或社会秩序构成威胁。
- 患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，且采取取保候审不致发生社会危险性的：这类特殊群体在符合条件下，出于人道主义考虑，可获得取保候审。
- 羁押期限届满，案件尚未办结，需要继续侦查或审理的：此时，为避免超期羁押，可依法转为取保候审。
司法实践与具体考量：
- 逮捕后的取保候审难度：逮捕往往意味着司法机关初步判断犯罪嫌疑人存在社会危险性，因此取保候审的申请难度相对较大。但这并不意味着完全没有可能，特别是在案件证据发生变化、犯罪嫌疑人健康状况恶化等新情况出现时。
- 案件性质与情节的影响：涉及严重暴力犯罪、危害国家安全犯罪等重大案件的犯罪嫌疑人，取保候审的难度较大。而案件情节较轻，对社会危害性较小的犯罪嫌疑人，取保候审的可能性相对较大。
- 犯罪嫌疑人的个人情况：犯罪嫌疑人是否有潜逃风险、是否具备固定住所和职业稳定性等，都会影响取保候审的决定。初次犯罪、认罪态度好、有悔罪表现的犯罪嫌疑人，取保候审的可能性也会增加。
- 证据情况的变化：如果案件证据不足或存在疑问，可能会影响逮捕决定的合法性，从而为取保候审提供机会。辩护律师可以通过提出法律意见、申请变更强制措施等方式，为犯罪嫌疑人争取取保候审的机会。
操作建议：
- 及时委托专业律师：在被逮捕后，犯罪嫌疑人及其家属应尽快委托专业律师介入。律师能够全面分析案情，评估取保候审的可能性，准备充分的申请材料，并与司法机关进行有效沟通，以提高取保候审的成功率。
- 准备充分的申请材料：包括犯罪嫌疑人的个人情况说明、案件证据分析、取保候审的保证人或保证金准备等。这些材料应充分展示犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，且不会对社会造成危害。
- 积极与司法机关沟通：律师应代表犯罪嫌疑人积极与司法机关沟通，阐述取保候审的理由和依据，争取司法机关的理解和支持。
法律后果提示：
- 如果取保候审申请获得批准，犯罪嫌疑人将获得一定的自由，但仍需遵守取保候审的相关规定，如定期报告行踪、不得离开指定区域等。
- 如果取保候审申请被拒绝，犯罪嫌疑人将继续被羁押，并等待后续的审判程序。此时，律师应继续为犯罪嫌疑人提供法律帮助，准备辩护策略，以维护其合法权益。
综上所述，虽然被逮捕后申请取保候审面临一定挑战，但只要符合条件并得到有效法律支持，仍有可能成功获得取保候审。如果你或你的亲友面临此类情况，可以直接向我咨询，我将根据具体案情提供专业的法律意见和帮助。