关于公司直接开除员工的赔偿问题，这确实是一个涉及劳动法规定且需要细致分析的情境。以下是我为您详细梳理的解答：

一、合法解除且无需赔偿的情形

首先，如果员工存在以下行为，公司有权直接开除且无需支付经济补偿：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件；
2. 严重违反公司的规章制度；
3. 严重失职或营私舞弊，给公司造成重大损害；
4. 同时与其他公司建立劳动关系，对本职工作造成严重影响，且拒不改正；
5. 通过欺诈、胁迫等手段订立或变更劳动合同，导致合同无效；
6. 被依法追究刑事责任。

在这些情况下，公司需要确保有充分的证据来证明开除行为的合法性，以避免潜在的法律风险。

二、合法解除但需支付经济补偿的情形

如果员工没有过错，但公司因某些原因需要解除劳动合同，那么公司需要提前三十日以书面形式通知员工，或者额外支付一个月工资，并支付经济补偿。这些情形包括：

1. 员工患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作或公司另行安排的工作；
2. 员工不能胜任工作，经过培训或调整岗位后仍不能胜任；
3. 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，导致合同无法履行，且双方未能就变更合同内容达成协议。

经济补偿的计算方式是：按员工在本公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资是指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。如果员工月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，但最高不超过十二年。

三、违法解除需支付赔偿金的情形

如果公司无正当理由或未遵循法定程序直接开除员工，那么这属于违法解除劳动合同。在这种情况下，公司需要按照经济补偿标准的两倍向员工支付赔偿金。赔偿金的计算方式与经济补偿相同，但数额是两倍。

四、员工维权途径

面对公司的开除行为，员工可以采取以下措施来维护自己的权益：

1. 与公司协商：首先尝试与公司进行友好协商，寻求合理的赔偿方案。
2. 向劳动监察部门投诉：如果协商不成，可以向当地的劳动监察部门投诉公司的违法行为。
3. 申请劳动仲裁：向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，请求裁决公司支付赔偿金或经济补偿。
4. 提起诉讼：如果对仲裁结果不满意，还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径来维护自己的合法权益。

综上所述，公司直接开除员工的赔偿问题需要根据具体情况来确定。员工应充分了解自己的权益和维权途径，以便在面临此类情况时能够做出正确的应对。同时，公司也应严格遵守劳动法规定，确保人事管理的合法性与合规性。