收银多收钱，消费者有权要求商家退还多收的部分，并可根据具体情况主张相应赔偿。具体分析如下：
退还多收款项：
- 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，商家在提供商品或服务时，应当按照约定收取费用。如果收银时多收了钱，商家有义务退还多收的部分给消费者。这是商家最基本的法律义务，也是保护消费者财产权的重要体现。
主张赔偿的情况：
- 若商家存在故意或重大过失：如果商家因为故意或重大过失导致多收钱，比如系统故障但商家未及时修复、员工操作失误但商家未加强培训等，消费者除了要求退还多收款项外，还可以根据实际情况主张一定的赔偿。这种赔偿通常是为了弥补消费者因商家过错而遭受的额外损失或不便。
- 若商家拒绝退还或态度恶劣：如果商家在消费者发现多收钱后拒绝退还，或者态度恶劣、推诿责任，消费者可以向相关部门投诉，如消费者协会、市场监管部门等。在这些情况下，消费者除了要求退还多收款项外，还可以主张因商家不当行为而产生的合理费用，如投诉产生的交通费、通讯费等，以及可能的精神损害赔偿（但精神损害赔偿通常需要较高的证明标准，且数额有限）。
实际操作建议：
- 保留证据：消费者在发现多收钱后，应首先保留好相关证据，如购物小票、支付记录等，以便在要求退还或主张赔偿时提供证明。
- 与商家协商：在保留好证据后，消费者可以尝试与商家协商解决。如果商家态度诚恳并愿意退还多收款项，消费者可以考虑是否进一步主张赔偿。
- 寻求法律援助：如果商家拒绝退还或协商无果，消费者可以向相关部门投诉或寻求法律援助。在投诉或寻求法律援助时，消费者应提供充分的证据和详细的情况说明，以便相关部门或法律机构能够准确判断并作出处理。