结论前置：公安机关不予立案的法律依据主要来源于《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关规定。具体来说，当公安机关认为没有犯罪事实、犯罪事实显著轻微不需追究刑事责任，或存在其他法定不予追究刑事责任的情形时，将不予立案，并需通知控告人不立案的原因。控告人不服可申请复议，被害人还可向人民检察院提出申诉。

详细分析：

1. 没有犯罪事实：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百一十二条，公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应迅速审查。若发现没有犯罪事实存在，即不构成犯罪，公安机关将不予立案。
   • 实例说明：例如，邻里之间因琐事发生轻微争吵，并未造成任何伤害或财产损失，也没有其他违法犯罪行为，这种情况下公安机关可能会认为没有犯罪事实，从而不予立案。

2. 犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任：

   • 法律依据：同样依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条和第一百一十二条，即使存在犯罪事实，但若该事实情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的，公安机关同样可以不予立案。
   • 实例说明：如盗窃案件中，嫌疑人盗窃的财物价值极低，远未达到盗窃罪的立案追诉标准，且没有其他严重情节，公安机关可能会认为犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任，从而不予立案。

3. 其他法定不予追究刑事责任的情形：

   • 法律依据：《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条还列举了其他几种特定情形下，公安机关不应立案追究刑事责任的情况，包括犯罪已过追诉时效期限、经特赦令免除刑罚、依照刑法告诉才处理的犯罪没有告诉或者撤回告诉、犯罪嫌疑人或被告人死亡、以及其他法律规定免予追究刑事责任的。
   • 实例说明：若某犯罪行为已发生多年，超过了法律规定的追诉时效期限，公安机关将不再立案追究刑事责任。

4. 不予立案的程序与救济途径：

   • 程序规定：根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百七十八条，公安机关决定不予立案的，应制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。
   • 救济途径：控告人对不予立案决定不服的，可以申请复议。若被害人认为公安机关应当立案侦查而不立案，还可以向人民检察院提出申诉。人民检察院将要求公安机关说明不立案的理由，并根据情况通知公安机关立案。

建议与提醒：

• 如果您遇到了公安机关不予立案的情况，首先要求公安机关出具书面的《不予立案通知书》，并详细了解不立案的具体原因。
• 若您认为公安机关的不立案决定有误，可以在规定时间内向作出决定的公安机关申请复议。若复议结果仍不满意，还可向上一级公安机关或同级人民检察院提出复核或申诉。
• 在处理此类问题时，建议您保留好所有相关证据和材料，以便在需要时提供证明。

作为曾惠媛律师，我专注于行政纠纷、侵权纠纷领域，如果您在公安机关不予立案方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。