当公司解除与员工的劳动关系时，赔偿问题确实是一个关键且复杂的议题。以下是我根据相关法律法规和实际操作经验，为您详细梳理的赔偿情况及标准：

一、公司无需支付赔偿的情形

首先，如果员工存在以下过错，公司有权依法解除劳动合同，且无需承担经济补偿责任：

1. 在试用期间被证明不符合录用条件；
2. 严重违反公司的规章制度；
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害；
4. 同时与其他公司建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经公司提出，拒不改正；
5. 以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使公司在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同；
6. 被依法追究刑事责任。

在这些情况下，公司解除劳动合同是合法的，因此无需支付赔偿。

二、公司需支付经济补偿的情形及标准

然而，在以下情形中，公司解除劳动合同则应向员工支付经济补偿：

1. 双方协商一致解除：如果公司与员工就解除劳动合同达成一致，公司应按照员工在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

2. 员工因病或非因工负伤：如果员工因病或非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作，公司解除劳动合同的，应支付经济补偿。

3. 员工不能胜任工作：如果员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作，公司解除劳动合同的，同样应支付经济补偿。

4. 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化：如果劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经公司与员工协商，未能就变更劳动合同内容达成协议，公司解除劳动合同的，也应支付经济补偿。

5. 公司裁员：如果公司因破产重整、生产经营困难、转产、重大技术革新或者经营方式调整等原因，需要裁减人员，公司解除劳动合同的，应支付经济补偿。

6. 劳动合同期满：如果劳动合同期满，除公司维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，员工不同意续订的情形外，公司终止劳动合同的，应支付经济补偿。

7. 公司被依法宣告破产等：如果公司被依法宣告破产、被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者公司决定提前解散，导致劳动合同终止的，公司也应支付经济补偿。

经济补偿的计算标准：

• 月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
• 如果员工的月工资高于公司所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资的三倍，那么经济补偿的标准将按该三倍工资计算，且支付年限最高不超过十二年。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

如果公司违反《劳动合同法》的规定解除或者终止劳动合同，例如无故解雇员工，或者在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除劳动合同的期间解除劳动关系，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。

额外注意事项：

• 如果公司未提前一个月通知员工即解雇，根据相关规定，公司可能还需额外支付一个月工资作为代通知金（但这一要求并非所有情况下都适用，具体需根据地方性法规和实际情况判断）。

综上所述，公司在解除劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。这既有助于维护员工的合法权益，也能确保公司的合法运营和稳定发展。如果您对公司解除劳动关系的赔偿问题还有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时告诉我。